# 函数极限

# 初等变形

1. 将 $1\times 2 + 2\times 3 + ……+n\times(n+1)$ 化成 $(1^2+1)+(2^2+2)+……+(n^2+n)$

2. 无穷和的极限 + 三角函数$\rightarrow$ 乘另一种三角函数凑成两个三角函数想乘的形式$\rightarrow$ 利用积化和差，将乘积转换成两项之差

   • $2\cos\beta \sin\alpha = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha -\beta)$
   • $2\sin\alpha\sin\beta = -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha - \beta)$

   分母为三角函数的平方和，利用倍角公式化成一次三角函数的乘积进行拆分化简

3. 合理拆分，巧妙应用$1-t^i=(1-t)(1+t+……+t^{i-1}),a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-1}b+...+b^{n-1})$

4. 大胆换元：出现$\sqrt{\frac{1+x}{2}}$，可以将$x$ 与$\cos \theta$ 联系

5. 在计算$\lim\limits_{k\to+\infty}ln(1+k)$ 时提出一个 k，变成$\lim\limits_{k\to+\infty}lnk\cdot (1+\frac{1}{k}) = \lim\limits_{k\to+\infty}lnk + ln(1+\frac{1}{k})$

6. 尝试将无穷和转换成有限的运算形式，如：见到$\sum\limits_{k=1}^{n}C_n^k\cdot k^2$，则想到$\sum\limits_{k=1}^{n}C_n^k\cdot x^k=(1+x)^n$

7. 分子为$\infty-\infty$，可以除以分子拆成两项

8. 如果要求$f(a(x))-f(b(x)),\lim a(x)=\lim b(x)$ 的极限，可以利用拉格朗日定理$f(a(x))-f(b(x))=f(\xi)(a(x)-b(x))$，即计算$a(x)-b(x)$ 的极限即可

9. 拆分的艺术

# 重要极限 & 等价无穷小

1. $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$

2. $x\to1,x^{\alpha}-1\sim\alpha(x-1)$

   $x\to0,(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$

3. \alpha\sim\alpha',\beta\sim\beta',lim\frac{\beta}{\alpha}=lim\frac{\beta'}

4. $1^{\infty}$ 型 $\rightarrow$ 化成$1+无穷小$的形式，即\lim [1+f(x)]^{g(x)}=e^

5. $\infty-\infty \rightarrow$ 化成$\frac{0}{0}$，利用倒数换元，令t=\frac{1}

# Taylor 公式

# 导数的定义

f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}

1. 记得带上余项

2. 一个复杂的式子减去一个常数，尝试可否用导数定义

# 数列极限

# 夹逼原理 & 单调有界原理

1. 分子分母一个存在阶乘，一个存在连乘，进行放缩，利用夹逼原理

2. 同时出现$\sum\frac{1}{k}$ 和$\ln n$，利用$\ln (n+1)\leq \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\leq \ln n + 1$

• $\int_k^k+1}\frac{1}{x}{dx}\leq\frac{1}{k}\leq\int_{k-1}【{k】\frac{1}{x}{dx} $

3. \frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}
4. 遇到三角函数，放缩到 1

5. 递推公式$x_n=f(x_{n-1})$

   1. 方法一：先求出$x=f(x)$ 的根，即$x_n$ 的极限，然后利用带绝对值的夹逼原理进行证明

   2. 方法二：利用单调有界性，如果整个不单调就看奇偶子列的单调性

      可以使用递推式先假设，再判断是单增还是单减

      • 令$f(x)=f(x_{n-1})$，那么$f(x)$ 相当于$x_n$，而$x$ 相当于x_
        1. $x>f(x),x_n<x_{n-1}$，单减
        2. $x<f(x),x_n>x_{n-1}$，单增

# 定积分定义

$$\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n}f(a+\frac{k(b-a)}n)\frac{b-a}n$$

特别地，对于闭区间$[0,1]$

$$\int_0^1f(x)dx=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\frac{k}n)\frac{1}n$$

# Stolz 定理

$$\frac{*}{\infty}型:\left\{a_n\right\}单增,\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l,则\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=l$$

$$\frac{0}{0}型:\left\{a_n\right\}单减，\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l,则\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=l$$

分子或分母出现一次函数可以考虑使用 Stolz

# Euler 常数

$$H_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\ln n+C+r_n,\lim\limits_{n\to\infty}r_n=0$$

# 函数连续性

要分从左趋近和从右趋近的情况：

• $\lim\limits_{x\to 0}[x]$
• \lim\limits_{x\to 0}e^
• $\lim\limits_{x\to \infty}e^x$
• \lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}
• 分段函数的分段点