# 光波基础

相位差$\Delta \phi$ 和光程差$\delta$：

$$\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta$$

光强与振幅的平方成正比：

$$I\propto E^2$$

光强的合成

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\overline{\cos\Delta\phi}$$

# 杨氏双缝

条纹特点：明暗相间，等间距，直条纹

光程差

$$\delta = \frac{x\cdot d}{D}=\begin{cases} k\lambda& 明纹\\ (2k+1)\frac{\lambda}{2}&暗纹 \end{cases}$$

条纹左边

$$x_{明}=\frac{k\lambda D}{d}\\ x_{暗}=\frac{(2k+1)\lambda D}{2d}$$

条纹间距

$$\Delta x=\frac{D}{d}\lambda$$

光程差每改变$\lambda$，条纹移动一级

$$(n −1)l = \Delta k\cdot \lambda$$

# 等倾干涉

光程差

$$\delta=2n_2d\cos\gamma(+\frac{\lambda}{2})=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\cdot\sin^2i}(+\frac{\lambda}{2})$$

条纹间隔分布：

$$(\Delta \gamma)_{\Delta k=1}=\frac{\lambda}{2n_2d\sin\gamma}$$

• 中心为亮斑
• 条纹级次 k，内高外低；中央条纹级次最高
• 条纹内疏外密
• 厚度增加时，中心冒出亮斑，周围亮斑不断向外扩大

# 等厚干涉

光程差

$$\delta=2nd(+\frac{\lambda}{2})$$

# 劈尖干涉

相邻条纹对应的厚度差

$$\Delta d=\frac{\lambda}{2n}$$

相邻明（暗）纹间距

$$l=\frac{\Delta d}{\sin \theta}\approx \frac{\Delta d}{\theta}=\frac{\lambda}{2n\theta}$$

# 牛顿环

$$r^2\approx 2Rd\\$$

$$r=\begin{cases} \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}}& k=1,2,3... \\ \sqrt{kR\lambda} &k=0,1,2... \end{cases}$$

• 中心为暗纹
• 愈往边缘，级次越高
• 中心疏，旁边密
• 平凸透镜向上平移时，空气膜的厚度增大，与 $d_k$ 对应的厚度向中心移进，干涉牛顿环向中心逐渐缩进

# 迈克尔逊干涉仪

M2 平移$\Delta d$，等厚干涉条纹移过 N 条

$$\delta=2\Delta d=N\lambda\\ \Delta d=N\frac{\lambda}{2}$$

# 相干长度 & 相干时间

相干长度：

$$L = \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

相干时间：

$$\tau =\frac{L}{c}$$

转换公式：

$$\Delta \lambda = -\frac{\lambda^2}{c}\Delta\nu$$

# 单缝衍射

# 单缝衍射光强

$$I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2,\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

# 单缝衍射光强分布特点

1. $\theta$ 角相同处光强相同

2. 中央主极大：$\theta=0$ 处，I=I_0=I_

3. 极小（暗纹）：$I=0\Rightarrow \sin\alpha=0$

   $$a\sin\theta=\pm k\lambda(k=1,2,3...)$$

4. 次极大：$\frac{dI}{d\alpha}=0,\frac{d^2I}{d\alpha^2}<0$

   $$\alpha=\pm 1.43\pi,\pm2.46\pi,\pm3.47\pi,...$$

   $$a\sin\theta=\pm 1.43\lambda,\pm2.46\lambda,\pm3.47\lambda,...$$

   $$a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}(k=1,2,3,...)$$

5. 光强分布曲线

   $I$ 次极大 <<$I$ 主极大

6. 明条纹宽度

   中央明纹：$k=\pm1$ 两暗纹之间的范围：$-\frac{\lambda}{a}<\sin \theta<\frac{\lambda}{a}$（$\frac{\lambda}{a}$ 称为半角宽度）

   其他明纹：$k,k+1$ 两条暗纹之间的范围：\frac{\lambda}{a}<\sin \theta<\frac{2\lambda}

# 条纹的影响

缝宽改变

$$\Delta x\propto\frac{1}{a}$$

缝宽越小，条纹展的越开，衍射作用愈显著

缝宽越大，条纹向中央明纹靠拢，衍射作用愈不显著

波长改变

$$\Delta x\propto \lambda$$

波长越长，条纹宽度越宽，衍射效果越明显

白光入射，不同波长的光的明纹不完全重叠；中央 O 为白色明纹，近 O 为紫色，最远为红色

# 半波带法

1. 缝可以分成几个半波带：确定光程差$\delta=a\sin\theta$，$\delta$ 包含多少个$\frac{\lambda}{2}$ 就分成几个半波带

2. 相同的$\theta$，分成半波带的面积一样大；不同的$\theta$，分成半波带的面积不一样大（半波带面积$\propto$ 衍射明纹亮度）

   $\theta$ 越大，$\delta$ 越大，包含的$\frac{\lambda}{2}$ 多，分成半波带数目多，一个半波带面积小

3. 半波带法中，暗纹位置精确成立，明纹位置近似成立

# 巴俾涅原理

在点光源照射下，一个不透光物体产生的衍射图样和一个带有与该物体形状、大小完全相同的孔的衍射屏产生的衍射图样完全相同。

# 双缝衍射

# 双缝衍射光强

$$I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2(\frac{\sin(2\beta)}{sin\beta})^2$$

$$\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},\beta=\frac{\pi (a+b)\sin\theta}{\lambda}$$

# 双缝衍射图样特点

1. 中央明纹：$\theta=0,I=I_0$，为单缝光强的 4 倍

2. 光强极大

   $$(a+b)\sin\theta=\pm k\lambda(k={\color{red}{0}},1,2,...)$$

3. 缺项，同时满足：

   $$(a+b)\sin\theta=\pm k\lambda(k=0,1,2,...)--双缝干涉加强，明纹$$

   $$a\sin\theta=\pm k' \lambda(k'=1,2,...)--单缝衍射相消，暗纹$$

   计算得缺项条件：

   $$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{a+b}{a}=\frac{k}{k'}$$

# 光栅衍射

光栅：大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的光学元件。

光栅常数：透光部分的宽度 a（缝宽）与不透光部分的宽度 b 之和

光强公式：

$$I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2(\frac{\sin(N\beta)}{sin\beta})^2\\ \alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},\beta=\frac{\pi (a+b)\sin\theta}{\lambda}$$

# 光栅衍射特点

1. 主极大

   $$\beta=k\pi(k=0,\pm 1,\pm 2,...)时,在d\sin \theta=k\lambda出现主极大$$

2. 暗纹位置

   $$\beta=(k+\frac{m}{N})\pi时(m = \pm1, \pm2,...\pm N-1),在d\sin \theta=(k+\frac{m}{N})\lambda出现极小值$$

   • 相邻两主极大之间有$N-1$ 条暗纹，$N-2$ 个次极大
   • 其他位置的光强比主极大小得多

3. 主极大半角宽

   $$第k级主极大：d\sin\theta_k=k\lambda$$

   $$k级主极大旁边最近的暗纹：d\sin(\theta_k+\Delta \theta)=(k+\frac{1}{N})\lambda$$

   $${\large \mathbf{k级主极大半角宽：\Delta\theta =\frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k}} }$$

4. 斜入射的光栅方程

   $$主极大：d(sin\phi+\sin\theta)=\pm k\lambda$$

   $$缺级：a(\sin\phi+\sin\theta)=\pm k'\lambda, \ d(\sin\phi+\sin\theta)=\pm k\lambda$$

# 色散

光栅的色散本领：将不同波长的光在谱线上分开的本领。只反映谱线主极大中心分离的程度，但不能说明谱线是否重叠，因为谱线本身是有宽度的。

角色散：

$$D=\frac{\Delta\theta_k}{\Delta \lambda}\\ 因为d\sin\theta_k=k\lambda,D=\frac{k}{d\cos\theta_k}$$

线色散：

$$D_l=\frac{\Delta l_k}{\Delta \lambda}=f\frac{\Delta\theta_k}{\Delta \lambda}$$

• 与光栅缝数 N 无关
• 减少 d，选择更高级次 k 的光谱，可增大角色散本领

光栅的分辨本领 R：恰能分辨的两条谱线的平均波长$\lambda$ 与它们的波长差$\delta\lambda$ 之比。表征着分辨清楚两条谱线的能力

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=Nk$$

# 布喇格公式

天然晶体可以看做是光栅常数很小的空间三维衍射光栅。

原子在晶体中按晶格点阵排列，晶体由一系列平行的原子层（晶面）所组成。

入射波被原子散射

1. 同一晶面上（点间干涉）：同一江面上相邻原子散射的光波的光程差为 0，相干加强

   $$相邻原子散射x射线干涉极大条件：\delta=bc-ae=h(\cos\theta-\cos\theta')=n\lambda,\ n=0,1,2,...\\ 零级主极大：\theta=\theta'$$

2. 不同晶体上（面间干涉）

   若要满足原子散射光相干加强，必须满足：

   $$\delta=NM+MP=k\lambda,\ k=1,2,3,...\\ 即：2d\cdot\sin\theta=k\lambda$$

# 圆孔衍射

衍射第一极小：

$$D\sin\theta_1\approx 1.22\lambda$$

中央亮斑的角半径：

$$\theta_1=\sin^{-1}( 1.22\frac{\lambda}{D})\approx1.22\frac{\lambda}{D}$$

爱里斑半径：

$$R\approx f\theta_1=1.22\frac{f\lambda}{D}$$

# 光学仪器的分辨率

能够区分两个物点的最小距离，是光学仪器的重要性能

# 瑞利判据

对于两个等光强的非相干物点，点物$S_1$ 的爱里斑中心恰好与另一个点物$S_2$ 的爱里斑边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点

最小分辨角$\delta\phi$

$$\delta\phi=1.22\frac{\lambda}{D}$$

分辨率 R

$$R=\frac{1}{\delta\phi}=\frac{D}{1.22\lambda}$$

最小分辨距离$\Delta x$

$$\Delta x=u\delta \phi$$

# 人眼

设人眼瞳孔直径为 D，玻璃体折射率为 n‘

$$\delta\phi'=\frac{1.22\lambda'}{D}=\frac{1.22\lambda}{n'D}\\ \delta\phi=n'\delta\phi'$$

$\delta\phi$ 为眼外两个恰可分辨的物点对瞳孔中心所张的角，称为眼外最小分辨角

# 显微镜

显微镜的分辨本领用最小可分辨间距来衡量

$$\delta y=\frac{0.61\lambda}{n\cdot\sin u}$$

其中，n 是物所在处介质的折射率，u 是物镜半径对物点的张角，$n\cdot\sin u$ 称为物镜的数值孔径，简写为$N.A.$

# 偏振

纵波没有偏振，横波有偏振

# 光偏振状态

线偏振光

$$E_x=E\cos\alpha$$

$$E_y=E\sin\alpha$$

自然光

$$E_x=E_y$$

$$I_0=I_x+I_y$$

$$I_x=I_y=\frac{1}{2}I_0$$

圆偏振光

可分解为两束振动方向垂直，振幅相等，相位差为$\frac{\pi}{2}$ 线偏振光

椭圆偏振光

可分解为两束振动方向垂直，振幅不相等，相位差一定$(0\sim\pi)$ 的线偏振光

部分偏振光

# 马吕斯定律

入射线偏振光的光振动方向与检偏器透振方向的夹角为$\alpha$

$$I=I_0\cos^2\alpha$$

# 布儒斯特定律

当自然光入射到两种介质的分界面上时，反射光和折射光都是部分偏振光

当入射角$i$ 满足$\tan i=\frac{n2}{n1}$ 时

1. 反射光与折射光相互垂直
2. 反射光只有垂直于入射面的光振动
3. 折射光为平行分量多的部分偏振光

光线以入射角$\gamma$ 从$n_2$ 入射

$$\tan\gamma=\frac{n1}{n2}$$

# 玻璃堆

反射所获得的线偏振光仅占入射自然光总能量的 7.4%，绝大部分垂直分量和全部平行分量都折射到介质中

• 增强了反射光的强度
• 增加了折射光的偏振程度

# 双折射

# 晶体对光的双折射现象

各向同性介质

各向异性介质

# 概念

晶体的光轴

沿此方向$o,e$ 光的速度相同，$n_e,n_o$ 也相同，不发生双折射，只要平行于此方向就满足上述条件

晶体的主截面

光轴 + 晶面法线

光线主平面

光轴 + 晶体内光线，光轴与$o(e)$ 光构成的平面叫做$o(e)$ 主平面

• 光轴在入射面时，o 光和 e 光主平面重合，此时 o 光振动和 e 光振动互相垂直

• 一般情况下$o,e$ 主平面夹角很小，可近似认为两者振动垂直

正晶体 & 负晶体

# 惠更斯原理

**$o$** 光子波面：各方向速度相同，波面 —— 球面

$e$ 光子波面：各方向速度不同，波面 —— 旋转椭球面

平行光轴上：$v_e=v_o$，两波面在光轴方向相切

垂直光轴上：

$$\left\{\begin{matrix} v_e<v_o& 正晶体\\ v_e>v_o& 负晶体 \end{matrix}\right.$$

# 惠更斯作图法

# 波晶片

表面与光轴平行的晶体薄片

相位差：

$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d \left\{\begin{matrix} \Delta \phi<0& 正晶体\\ \Delta \phi>0& 负晶体 \end{matrix}\right.$$

常用波晶片：

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}波片：(n_o-n_e)d=\pm\frac{\lambda}{4}\rightarrow\Delta\phi=\pm\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2}波片：(n_o-n_e)d=\pm\frac{\lambda}{2}\rightarrow\Delta\phi=\pm\pi \end{matrix}\right.$$

# 圆偏振光和椭圆偏振光的获得

两互相垂直振动可合成圆或椭圆运动

一束线偏振光经 **$\frac{1}{4}$** 晶片后，出射光是两束传播方向相同、振动方向相互垂直、频率相等、相位差为 π/2 的线偏振光。

振幅关系

$$ A_o=A\sin\alpha $$

$$A_e=A\cos\alpha$$

• 圆偏振光

  $$\alpha=45^o\rightarrow A_o=A_e$$

• 与 e 光对应的线偏光

  $$\alpha=0^o\rightarrow A_o=0,A_e=A$$

• 与 o 光对应的线偏光

  $$\alpha=90^o\rightarrow A_o=A,A_e=0$$

• 椭圆偏振光

  $$\alpha\neq 0^o，45^o,90^o，其他情况下都是椭圆偏振光$$

# 偏振光的鉴别

用一块偏振片和一块$\frac{\lambda}{4}$ 波片去鉴别：自然光、部分偏振光、线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光

1. 先利用偏振片
   • 光强不变 $\Rightarrow$ 自然光或圆偏振光
   • 光强改变 $\Rightarrow$ 部分偏振光或椭圆偏振光
2. 再利用$\frac{\lambda}{4}$ 波片及偏振片

在判别” 椭圆偏振光 “时，先利用偏振片使椭圆的长轴（或短轴）与波片的光轴重合

# 偏振光的干涉

振幅

经过晶片 C：

$$A_o=A_1\cos \alpha\\ A_e=A_1\sin\alpha$$

经过偏振片 2，偏振方向 P2

$$A_{e2} = A_e\cos \beta\\ A_{o2} = A_o\sin\beta$$

相位差

经过晶片 C：

$$|\Delta\phi_c|=\frac{2\pi d}{\lambda}|n_e-n_o|$$

经过 P2 后：

$$|\Delta\phi|=\frac{2\pi d}{\lambda}|n_e-n_o|+ \left\{\begin{matrix} \pi& A_{e2}和A_{o2}方向相反 \\ 0& A_{e2}和A_{o2}方向相同 \end{matrix}\right.$$