# 离散时间线性时不变系统：卷积和

# 用脉冲表示离散时间信号

离散时间单位脉冲序列的筛选性质

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$$

特别的，在 $x[n]=u[n]$

$$x[n]=\sum_{k=0}^{+\infty}\delta[n-k]$$

# 单位脉冲响应及卷积和表示

令 $h_k[n]$ 为线性系统对移位单位脉冲 $\delta[n-k]$ 的响应

若线性系统的输入 $x[n]$ 表示成 $x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$ ，那么输出 $y[n]$ 可以表示成

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$$

** 解释：** 任意信号 $x[n]$ 的响应 $y[n]$ 是单位脉冲响应的加权和

响应 $y[n]$ 的卷积和

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$$

用符号记为

$$y[n]=x[n]*h[n]$$

习题

有限长序列的卷积和计算

零响应状态：指系统在初始状态为零（即无初始储能）时，仅由输入信号激励产生的输出响应

习题：

# 连续时间线性时不变系统：卷积积分

# 用冲激表示连续时间信号

连续时间单位脉冲序列的筛选性质

$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$

特别的，若 $x(t)=u(t)$

$$u(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=\int_0^{\infty}\delta(t-\tau)d\tau$$

# 单位脉冲响应及卷积积分表示

令 $\hat h_{k\Delta}$ 为一个线性时不变系统对输入 $\delta_{\Delta}(t-k\Delta)$ 的响应

那么利用叠加性质

$$\hat y(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\hat h_{k\Delta}(t)\Delta$$

在 $\Delta\to 0$ 时，可以化成积分的形式

$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h_{\tau}(t)d\tau$$

因为系统是时不变的，所以 $h_{\tau}(t)=h_0(t-\tau)$

$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

# 线性时不变系统的性质

# 交换律

在离散情况下：

$$x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]$$

在连续情况下：

$$x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau$$

可以解释成：

一个输入为 $x[n]$ 且单位冲激响应为 $h[n]$ 的线性时不变系统的输出，和输入为 $h[n]$ 且单位冲激响应为 $x[n]$ 的输出，是完全一样的

证明

以离散系统为例

令 $r=n-k$

$$x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]=\sum_{r=-\infty}^{+\infty}x[n-r][r]=h[n]*x[n]$$

# 分配律

在离散时间情况下：

$$x[n]*(h_1[n]+h_2[n])=x[n]*h_1[n]+x[n]*h_2[n]$$

在连续时间情况下：

$$x(t)*(h_1(n)+h_2(n))=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)$$

线性时不变系统的并联可以用一个单一的线性时不变系统来代替，而该系统的单位冲激响应就是并联时各个单位冲激响应的和

根据交换律和分配律，就有

$$[x_1[n]+x_2[n]]*h[n]=x_1[n]*h[n]+x_2[n]*h[n]\\ [x_1(t)+x_2(t)]*h(t)=x_1(t)*h(t)+x_2(t)*h(t)$$

线性时不变系统对两个输入的和的响应一定等于系统对单个输入响应的和

# 结合律

在离散时间情况下：

$$x[n]*(h_1[n]*h_2[n])=(x[n]*h_1[n])*h_2[n]$$

在连续时间情况下：

$$x(t)*(h_1(t)*h_2(t))=[x(t)*h_1(t)]*h_2(t)$$

两个线性时不变系统联级后的冲激响应就是它们单个冲激响应的卷积

# 有记忆性和无记忆性

对于离散时间系统：

无记忆性：

• 当 $n\neq 0,h[n]=0$

• 这时单位冲激响应为 $h[n]=K\delta[n]$，其中 $K=h[0]$ 是一个常数

• 卷积和化简成

  $$y[n]=Kx[n]$$

有记忆性：

对于 $n\neq 0$ 不全为 $0$

对于连续时间系统：

将离散时间变量换成连续时间变量即可

# 可逆性

如果一个线性时不变系统是可逆的，它就有一个线性时不变的逆系统

给定一个系统，其冲激响应是 $h(t)$，逆系统的冲激响应是 $h_1(t)$

满足条件：

$$h(t)*t_1(t)=\delta(t)$$

在离散时间情况下同理：

$$h[n]*h_1[n]=\delta[n]$$

习题：

有一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为 $h[n]=u[n]$

那么该系统对任何输入的响应为：

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]u[n-k]=\sum_{k=-\infty}^n x[k]$$

这是一个累加器，其逆系统为

$$y[n]=x[n]-x[n-1]$$

令 $x[n]=\delta[n]$，逆系统的冲激响应为

$$h_1[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$$

显然 $h[n]$ 和 $h_1[n]$ 的确是一对互为可逆的线性时不变系统的冲激响应

$$\begin{aligned} h[n]*h_1[n]&=u[n]*[\delta[n]-\delta[n-1]] \\&=u[n]*\delta[n]-u[n]*\delta[n-1]\\ &=u[n]-u[n-1]\\ &=\delta[n] \end{aligned}$$

# 因果性

因果离散时间线性时不变系统的冲激响应满足：

$$h[n]=0,n<0$$

即 一个因果线性时不变系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零

一个线性系统的因果性就等效于初始松弛的条件：如果一个因果系统的输入在某个时刻点之前是零，那么其输出在那个时刻以前也是必须是零

如果一个离散线性时不变系统是因果的，那么卷积和可以等效成

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]h[n-k]=\sum_{k=0}^{\infty}h[k]x[n-k]$$

如果一个连续线性时不变系统是因果的，那么卷积积分可以等效成

$$y(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)h(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau$$

# 稳定性

对于离散线性时不变系统：

单位脉冲响应是绝对可和的，即

$$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k|<\infty$$

$\Leftrightarrow$ 该系统是稳定的

证明

设输入 $x[n]$ 是有界的，其界为 $B$

$$|x[n]|<B$$

把这个有界的输入加到一个单位脉冲响应为 $h[n]$ 的线性时不变系统上，则响应输出的绝对值为

$$|y[n]|=|\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]|$$

不断化简：

$$\begin{aligned} |y[n]|\leq B\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]| \end{aligned}$$

对于连续线性时不变系统：

单位冲激响应是绝对可的，即

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(\tau)|d\tau<\infty$$

$\Leftrightarrow$ 该系统是稳定的

# 单位阶跃响应

# 卷积的微分和积分

微分：

$$\frac{d}{dt}[u(t)*v(t)]=u(t)*\frac{dv(t)}{dt}=\frac{du(t)}{dt}*v(t)$$

积分：

$$\int_{-\infty}^t[u(x)*v(x)]dx=u(t)*\int_{-\infty}^tv(x)dx=\int_{-\infty}^{t}u(x)dx*v(t)$$

$$u(t)*v(t)=\frac{du(t)}{dt}*\int_{-\infty}^tv(x)dx=\int_{-\infty}^tu(x)dx*\frac{dv(t)}{dt}$$

# 卷积的性质？？？

$$f(t)*\delta'(t)=f'(t)\\ f(t)*\int_{-\infty}^t\delta(x)dx=\int_{-\infty}^tf(x)dx$$

证明（不懂不懂不懂，有空补）

$$f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)*\delta(t)$$

将左右同时微分

$$f'(t)=\frac{d}{dt}[f(t)*\delta(t)]=f'(t)*\delta(t)=f(t)*\delta'(t)$$

若

$$f_1(t)*f_2(t)=f(t)$$

则

$$f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f(t-t_1-t_2)$$

# 用微分方程和差分方程描述因果线性时不变系统

# 奇异函数