首页 Math 计算方法

# 绪论

# 有效数字和绝对误差限的转换

  1. 将数字转换成 0.a1a2...×10m0.a_1a_2...\times 10^m 的格式
  2. 在已知有效位数为 ll 的情况下，误差限为 10m−l{10^{m-l}}
  3. 在已知误差限为 12×10k\frac{1}{2}\times10^k 的情况下，有效位数为 m−km-k

# 有效数字和相对误差的转换

  1. 将数字转换成 0.a1a2...×10m0.a_1a_2...\times 10^m 的格式
  2. 在已知有 nn 位有效数字情况下，相对误差限为 12a1×10−n+1{\frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}}
  3. 在已知有效误差限为 12(a1+1)×10−n+1\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-n+1}，该数有 nn 位有效误差

# 运算的误差限和相对误差限

充分利用微分

# 运算原则

加减：小数位数多的保留到最少的多一位，结果与最少的相同

乘除：有效位数比最少者多一位，结果与最少者比最多少一位

乘方和开方：保留结果有效位数不变

对数运算：与真值的有效数字位数相等

# 插值法

# Lagrange 插值

使用公式求出插值函数并计算误差

# 牛顿插值

学会列差商表并计算牛顿插值函数

# 埃米尔特插值

  1. 利用拉格朗日插值构造埃米尔特插值
  2. 仿造拉格朗日插值余项证明证明埃米尔特插值余项

# 数值积分

# 代数精度

n+1n+1 个互异节点，用拉格朗日插值代数精度至少为 nn

判断某个积分是否是插值型：找到插值节点，计算 li(x)l_i(x) 并求积分，比较系数

# 牛顿科特斯公式

Ci=∫abli(x)dxb−aC_i=\frac{\int_a^bl_i(x)dx}{b-a}

令 x=a+th,h=b−anx=a+th,{h=\frac{b-a}{n}}

Ci=(−1)n−kn⋅k!⋅(n−k)!∫0n∏j=0,j≠in(t−j)dtC_i=\frac{(-1)^{n-k}}{n\cdot k!\cdot(n-k)!}\int_0^n\prod_{j=0,j\neq i}^n(t-j)dt

余项：

∫abf(n+1)(ξ)(n+1)!w(x)dx\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}w(x)dx

当 nn 为偶数时，代数精度至少是 n+1n+1

# 复化求积

# 梯形

普通版：

∫abf(x)dx=h2[f(a)+f(b)],h=b−a\int_a^b f(x)dx=\frac{h}{2}[f(a)+f(b)],h=b-a

余项：

R(x)=−h312f(2)(ξ)R(x)=-\frac{h^3}{12}f^{(2)}(\xi)

复化版：

∫abf(x)dx=h2[f(a)+2∑i=1n−1f(xi)+f(b)],xi=a+ih,h=b−an\int_a^bf(x)dx=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)], x_i=a+ih,h=\frac{b-a}{n}

余项：

R(x)=−nh312f(2)(ξ)R(x)=-\frac{nh^3}{12}f^{(2)}(\xi)

# 辛普森

普通版：

∫abf(x)dx=h6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]\int_a^bf(x)dx=\frac{h}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]

余项：

R(x)=−h590f(4)(ξ)R(x)=-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)

复化版：

∫abf(x)dx=h3[f(a)+4∑i=1mf(x2k−1)+2∑i=1m−1f(x2k)+f(b)],n=2m,h=b−an\int_a^bf(x)dx=\frac{h}{3}[f(a)+4\sum_{i=1}^mf(x_{2k-1})+2\sum_{i=1}^{m-1}f(x_{2k})+f(b)],n=2m,h=\frac{b-a}{n}

余项：

R(x)=−(n/2)h590f(4)(ξ)R(x)=-\frac{(n/2)h^5}{90}f^{(4)}(\xi)

# 龙贝格

T2n=12Tn+h2[∑i=0n−1f(xi+12)],注意 h 是二分前的步长Sn=43T2n−13TnCn=1615S2n−115SnRn=6463C2n−163CnT_{2n}=\frac{1}{2}T_n+\frac{h}{2}[\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+\frac{1}{2}})],\text{注意 h 是二分前的步长} \\ S_{n}=\frac{4}{3}T_{2n}-\frac{1}{3}T_n\\ C_{n}=\frac{16}{15}S_{2n}-\frac{1}{15}S_n\\ R_{n}=\frac{64}{63}C_{2n}-\frac{1}{63}C_{n}

# 常微分方程数值解法

# 利用欧拉法解决初值问题

# 证明公式精度

# 讨论稳定性

# 非线性方程的数值解法

# 二分法的误差

∣x∗−xk∣≤12k+1(b−a)|x^*-x_k|\leq \frac{1}{2^{k+1}(b-a)}

如果要求最后根的精度是 kk，那么就应该是

∣x−xk∣≤12k+1(b−a)≤12×10−k|x-x_k|\leq\frac{1}{2^{k+1}(b-a)}\leq \frac{1}{2}\times 10^{-k}

解出来的 kk 就是要迭代 kk 次

# 牛顿法迭代求根

运用牛顿法并证明收敛性