# 域的定义与基本性质

# 性质

设 $F$ 是一个非空集合，在集合上定义了两种运算，分别为加法和乘法，且 $F$ 对加法和乘法自封闭，如果

1. $F$ 中所有元素对于加法形成一个加法交换群
2. $F$ 中所有非零元素（记作 $F^*$）对于乘法形成一个乘法交换群
3. 对任意 $a,b,c\in F,a(b+c)=ab+ac$

则称 $F$ 对于所规定的加法和乘法为一个域

补充群的定义

群：

• 封闭
• 结合律
• 单位元
• 逆元

一个域至少有两个元素，即加法群的零元和乘法群的单位元，他们分别称为域的零元和单位元

# 子域与扩域

设 $F$ 是一个域， $F_0$ 是 $F$ 的非空子集，如果对于 $F$ 上的加法和乘法， $F_0$ 自己也是一个域，则称 $F_0$ 是 $F$ 的子域， $F$ 是 $F_0$ 的扩域，记作 $F_0\subseteq F$，如果另有 $F_0\neq F$，则可记作 $F_0\subsetneq F$

例子

$$eg:Q\subsetneq Q[\sqrt 2]\subsetneq R\subsetneq R[\sqrt{-2}] \subsetneq C$$

其中 $Q[\sqrt 2]=a+b\sqrt 2$

如果 $a+b\sqrt 2$ 有逆元，那么 $a+b\sqrt 2\neq 0$，显然它不可能等于 $0$

若 $a+b\sqrt 2=0$，则 $\frac{a}{b}=-\sqrt 2$，是不可能的

设 $F_0,F_0^*$ 是域 $F$ 的非空子集，当且仅当以下条件成立时 $F_0$ 是域 $F$ 的子域

1. 对于任意 $a,b\in F_0$，都有 $-a,a+b\in F_0$
2. 对于任意非零元素 $a,b\in F_0$，都有 $a^{-1},ab\in F_0$

$F_{p^n}$ 的子域的个数为 $n$ 因子的个数

证明

$F_{p^n}$ 的乘法群的阶是 $p^n-1$

那么该域的子域的阶应该是 $p^n-1$ 的因子，即假设 子域的阶是 $p^d-1$

那么

$$p^d-1|p^n-1$$

我们可以证明满足上述条件的 $d$ 应该满足

$$d|n$$

证明：

$$p^d\equiv 1\pmod {p^d-1}$$

那么 $n$ 要满足是 $d$ 的倍数才能满足

$$p^n\equiv 1\pmod{p^d-1}$$

例子

问 $F_{2^6}$ 的子域有多少个

即找 $6$ 的因子有多少个 $2\times 2=4$

有 $4$ 个

# 性质

设 $F$ 是一个域，那么

1. 对于任意 $a\in F$，$0a=a0=0$
2. 对于任意 $a,b\in F$，若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$

证明

1. 注意这里的 $0$ 是加法单位元

$$0a=(0+0)a=0a+0a$$

​ 左右同时加上 $-0a$

$$0a=0$$

2. 假设 $a\neq 0$

$$b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0$$

设 $F$ 是一个域，$a,b\in F$，则对于任意正整数 $n$，

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i} a^{n-i}b^i$$

# 特征

域 $F$ 的特征 $char(F)$：

设 $F$ 是一个域，如果存在正整数 $m$，使得对于任意 $a\in F$ 均有 $ma=0$（即将 $a$ 加 $m$ 遍）则在所有 $m$ 中，最小的正整数称为域 $F$ 的特征；如果不存在正整数 $m$ 使得对于任意 $a\in F$ 均有 $ma=0$，则称域 $F$ 的特征为 $0$。

例子

对于有限域 ${Z_p=\left\{0,1,...,p-1\right\}}$

因为

$$p\cdot \left\{0,1,... ,p-1\right\}\mod p=0$$

所以

$$char(Z_p)=p$$

对于无限域

$$char(Q)=0$$

# 同构映射

设 $F$ 和 $k$ 是两个域，如果存在 $F$ 到 $k$ 上的一一映射 $\delta$，使得对于任意 $a,b\in F$ 均有

$$\delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b),\delta(ab)=\delta(a)\delta(b)$$

则称 $\delta$ 为 $F$ 到 $k$ 上的同构映射，此时称域 $F、k$ 同构，记作 $F\cong k$

如果 $F=k$，则称 $\delta$ 为自同构映射

若进一步对于任意 $a\in F$，均有 $\delta(a)=a$，则称 $\delta$ 为恒等自同构映射

# 素域

一个域的最小子域称为该域的素域

设 $F$ 是一个域，如果 $char(F)$ 为正整数，则必为某个素数 $p$

证明

假设 $char(F)=m>0$， $m$ 为合数

设 $p$ 是 $m$ 的最小素因子，$m=ps,1<p<m,1<s<m$

则

$$(ps)e=me=0\\ (ps)e=(pe)(se)$$

所以 $pe$ 或者 $se$ 等于 $0$

特征为素数 $p$ 的域的素域与 $Z_p$ 同构，特征为 $0$ 的域的素域与 $Q$ 同构

当 $char(F)=p$ 时，可以验证 $F_0=\left\{0,e,2e,...,(p-1)e\right\}$ 是域 $F$ 的最小子域，映射 $\delta:F_0\to Z_p,\delta(ie)=i$ 为域同构映射

当 $char(F)=0$ 时，可以验证 $F_0={(ae)(be)^{-1}|z,b\in Z,b\neq 0}$ 是域 $F$ 的最小子域，而映射 $\delta:F_0\to Q,\delta((ae)(be)^{-1})=\frac{a}{b},a,b\in Z,b\neq 0$ 为域同构映射

设 $F$ 是一个域 ，$char(F)=p$，则对于任意 $a,b\in F,n\geq 0$，均有

$$(a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$$

证明

因为 $char(F)=p$ 所以所有式子中是 $p$ 的倍数的都可以消掉

# 域上多项式

# 定义

当 $a_n\neq0$ 时，称该多项式为 $n$ 次多项式

多项式的次数记为 $degf(x)$

• 如果多项式的各项系数均为 $0$，则称该多项式为零多项式，记作 $0$
• 零多项式的次数规定为 $-\infty$

# 域上多项式的运算

在 $F[x]$ 上可以定义加法和乘法

设 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i,g(x)=\sum_{i=0}^mb_ix^i,n\geq m$

令 $b_{m+1}=b_{m+2}=...=b_n=0$，则

$$f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i\\ f(x)\cdot g(x)=\sum_{j=0}^{m+n}(\sum_{i=0}^ja_ib_{j-i})x^j$$

次数：

$$deg(f(x)+g(x))\leq max\left\{degf(x),degg(x)\right\}\\ deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)$$

但是显然，上述定义下的 $F[x]$ 不是域，因为除了 $F$ 中的非零元素，$F[x]$ 中的其他元素均没有乘法逆元

# 多项式的带余除法

设 $f(x),g(x)$ 为域 $F$ 上的两个多项式，$g(x)\neq 0$，则存在唯一的一对多项式 $q(x),r(x)$，使得

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x),degr(x)<degg(x)$$

其中，$r(x)$ 称为 $f(x)$ 被 $g(x)$ 除所得的余式，记作

$$(f(x))_{g(x)}=r(x)$$

设 $f_1(x),f_2(x),g(x)$ 为域 $F$ 上的多项式，$g(x)\neq 0$，则

$$(f_1(x)+f_2(x))_{g(x)}=(f_1(x))_{g(x)}+(f_2(x))_{g(x)}\\ (f_1(x)f_2(x))_{g(x)}=(f_1(x))_{g(x)}(f_2(x))_{g(x)}$$

$0$ 是任意非零多项式的倍式，域 $F$ 中的非零元素为任意多项式的因式

# 因式与倍式

设 $f(x)$ 为域 $F$ 上的多项式，如果 $f(x)$ 的因式只有 $c,cf(x)$，其中 $c\in F^*$，则 $f(x)$ 称为域 $F$ 上的不可约多项式，否则称为可约多项式

$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，$f(x)$ 可约的充要条件是存在次数小于等于 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 的首 $1$ 不可约多项式

例子1

判断

$$f(x)=x^2+1$$

是否式实数域 $R$，域 $Z_2,Z_3$，复数域 $C$ 上的不可约多项式

• 实数域 $\Delta<0$，不可约多项式
• 域 $Z_2$，判断能否被 $x,x+1$ 整除，$f(x)=(x+1)^2$，可约多项式
• 域 $Z_3$，判断能否被 $x,x+1,x+2$ 整除，不可约多项式
• 复数域 $C$，$f(x)=(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1})$，可约多项式

例子2

求 $Z_2[x]$ 上次数为 $1,2,3$ 的多项式

一次：

$$x,x+1$$

二次：

$$x^2+x+1$$

三次：（带入 $x=0,-1$ 看是否有根）

$$x^3+x^2+1\\ x^3+x+1$$

例子3

设域上有多项式 $g(x)|f_1(x),g(x)|f_2(x)$，那么对于 $F$ 上的任意多项式 $s(x),t(x)$，有

$$g(x)|s(x)f_1(x)+t(x)f_2(x)$$

若域 $F$ 上的多项式 $d(x)\neq 0$，同时满足 $d(x)|f(x),d(x)|g(x)$，则称 $d(x)$ 为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式

当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 不全为 $0$ 时，在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的所有公因式中，一定有一个次数最高、首系数为 $1$ 的多项式，该多项式称为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最高公因式

设 $f(x),g(x)$ 为域 $F$ 上两个次数大于 $0$ 的多项式，那么存在唯一的一对多项式 $s(x),t(x)\in F[x]$，使得 $s(x)f(x)+t(x)g(x)=(f(x),g(x))$，且

$$degs(x)<degg(x)-deg(f(x),g(x))\\ degt(x)<degf(x)-deg(f(x),g(x))$$

# 多项式整除的性质

• 设 $f(x),g(x)$ 为域 $F$ 上两个不全为 $0$ 的多项式，则对于任意 $k(x)\in F[x]$，$(f(x)+g(x)k(x),g(x))=(f(x),g(x))$
• 设 $f_1(x),f_2(x)$ 为域 $F$ 上的多项式，$p(x)$ 为域 $F$ 上的不可约多项式，$p(x)|f_1(x)f_2(x)$，若 $(p(x),f_1(x))=1$，则 $p(x)|f_2(x)$
• 设 $p(x),f_1(x),f_2(x)$ 为域 $F$ 上的多项式$p(x)$ 为域 $F$ 上的不可约多项式，$p(x)|f_1(x)f_2(x)$，则 $p(x)|f_1(x)$ 或 $p(x)|f_2(x)$
• 设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的次数大于零的多项式，则 $f(x)$ 可以唯一地表示为域 $F$ 上一些次数大于零的不可约多项式的乘积

# 扩域的构造

余元定理：设 $f(x)$ 为域 $F$ 上的多项式，对于任意 $a\in F$，存在 $g(x)\in F[x]$ 使得

$$f(x)=(x-a)g(x)+f(a)$$

设 $f(x)$ 为域 $F$ 上的 $n$ 次不可约多项式，集合 $F[x]_{f(x)}=\left\{\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_ix^i|a_i\in F\right\}$ 按照模 $f(x)$ 的模加和模乘形成一个域。

若 $f(x)$ 为有限域 $F_q$ 上的 $n$ 次不可约多项式，则 $F_q[x]_{f(x)}=\left\{\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_ix^i|a_i\in F_q\right\}$ 按照模 $f(x)$ 的模加和模乘形成一个元素个数为 $q^n$ 的有限域

解释

因为 $F_q$ 中有 $q$ 个元素

多项式 $f(x)$ 最高次数是 $n$ 项 =，所以 $F_q[x]_{f(x)}$ 种的多项式最高次数是 $n-1$，所以 $n$ 项一共有 $q^n$ 种可能

习题1--求元素的逆

习题2--概念辨析

$G$ 有限域的特征是 $p$，而扩域和子域特征是一致的

$H$ 应该是

$$(a+b)^{p^k}=a^{p^k}+b^{p^k}$$

$I$ 考点同 $H$，因为 $\delta(a+b)\neq \delta(a)+\delta(b)$，所以不是自同构

# 有限域的乘法群

预备知识1--整数的阶

给定一个整数 $a$ 和一个正整数 $n$，$(a,n)=1$，$a$ 模 $n$ 的阶是指最小的正整数 $k$，使得：

$$a^k\equiv 1\pmod n$$

这个最小的 $k$ 称为 $a$ 模 $n$ 的阶，记作 $ord_na$

例如：

$$ord_72=3$$

推论：

$a^x\equiv 1\pmod n$ 有解 $\Leftrightarrow$ $ord_na|x$

$ord_na|\varphi(n)$

预备知识2--群的阶

一个整数 $g$ 在群 $G$ 中的阶是指由 $g$ 生成的循环子群的阶，即最小的正整数 $k$ 使得：

$$g^k=e$$

其中 $e$ 是群的单位元。如果不存在这样的 $k$，则称 $g$ 的阶是无限的。

设群 $G$ 中的元素 $\alpha$ 的阶为 $n$，则对于任意整数 $m$，

$$ord(\alpha^m)=\frac{n}{(m,n)}$$

设群 $G$ 中，$ord(\alpha)=m,ord(\beta)=n$，若 $(m,n)=1$，则

$$ord(\alpha\beta)=mn$$

有限域的乘法群是循环群

$F_{p^n}$ 是元素个数为 $p^n$ 的有限域，$F_{p^n}^*$ 是由阶最大的元素生成的循环群，将$F_{p^n}^*$ 乘法群的生成元称为域 $F_{p^n}$ 的本原元

在群论中，Lagrange 定理 指出：

任何有限群的子群的阶，必然整除整个群的阶。

推论：

任何元素的阶（即由该元素生成的循环子群的阶），必然整除整个群的阶。

举例

$$Z_2[x]_{x^3+x+1}$$

是一个 $7$ 元乘法群（无 $0$），所以 $ord$ 只可能是 $1$ 或 $7$，对于所有除 $1$ 元素，显然 $ord\neq 1$，所以 $ord=7$