# TLI 对复指数信号的响应

复指数信号

1. 连续时间：${e^{st}}$
2. 离散时间：$z^n$

一个 TLI 对复指数信号的响应同样是一个复指数信号，只是幅度不同

1. 连续时间：${e^{st}\to H(s)e^{st}}$
2. 离散时间：$z^n\to H(z)z^n$

# 特征函数 & 特征值

若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数；幅度因子称为系统的特征值

考虑一个单位冲激响应为 $h(t)$ 的连续时间线性时不变系统

对任意输入 $x(t)$，若 x(t)=e^

$$\begin{aligned} y(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau \\&=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \end{aligned}$$

假设积分收敛，于是系统对 $e^{st}$ 的响应为

$$y(t)=H(s)e^{st},H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$$

考虑一个单位冲激响应为 $h[t]$ 的离散时间线性时不变系统

对输入 $x[n]=z^n$

$$\begin{aligned} y[n]&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{n-k}\\ &=z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k} \end{aligned}$$

假设求和收敛，余式系统对$z^n$ 的响应为

$$y[n]=H(z)z^{n},H(z)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}$$

若输入为

$$x(t)=\alpha_1 e^{s_1t}+\alpha_2 e^{s_2t}$$

则输出为

$$y(t)=\alpha_1H(s_1)e^{s_1t}+\alpha_2H(s_2)e^{s_2t}$$

# 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

# 成谐波关系的复指数信号的线性组合

与 $x(t)=e^{j\omega_0 t}$ 成谐波关系的复指数信号集是

$$\phi_k(t)=e^{jk\omega_0 t}=e^{jk(2\pi/T)t},k=0,\pm1,\pm2……$$

一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk(2\pi/T)t}--💕$$

$k=\pm N$，称为第 $N$ 次谐波分量

如果一个周期信号表示成💕的形式，就称为傅里叶级数

# 傅里叶级数的表示形式

在连续时间情况下，实周期信号的常见的傅里叶级数表示式

$$x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_0t+\theta_k)$$

$$x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty}[B_k\cos k\omega_0 t-C_k\sin k\omega_0t]$$

推导

若 $x(t)$ 式一个实信号，而且能表示成💕的形式，那么因为 $x^*(t)=x(t)$，$x^*(t)$ 表示 $x(t)$ 的共轭

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k^*e^{-jk\omega_0t}$$

以 $-k$ 代替 $k$

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{-k}^*e^{jk\omega_0t}$$

和 💕 对比可得

$$a_{-k}^*=a_k$$

或

$$a_k^*=a_{-k}$$

将 💕 写成另一种形式

$$\begin{aligned} x(t)&=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}[a_ke^{jk\omega_0t}+a_{-k}e^{-jk\omega_0t}]\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}[a_ke^{jk\omega_0t}+a_{k}^*e^{-jk\omega_0t}]\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}2\Re(a_ke^{j\omega_0t}) \end{aligned}$$

将 $a_k$ 以极坐标形式给出为

$$a_k=A_ke^{j\theta_k}$$

则可得到

$$x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_0t+\theta_k)$$

将 $a_k$ 以笛卡尔坐标形式表示

$$a_k=B_k+jC_k$$

则可得到

$$x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty}[B_k\cos k\omega_0 t-C_k\sin k\omega_0t]$$

# 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定

设给定的周期信号可以写成

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk(2\pi/T)t}--💕$$

将两边各乘以 e^

$$x(t)e^{-jn\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}$$

进行积分

$$\begin{aligned} \int_0^Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt&=\int_0^T\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}dt \\&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\int_0^Te^{j(k-n)\omega_0t}dt \end{aligned}$$

利用欧拉公式得

$$\int_0^Te^{j(k-n)\omega_0t}dt=\int_0^T\cos[(k-n)w_0t]dt+j\int_0^T\sin[(k-n)w_0t]dt$$

• $k\neq n$
  1. $\cos[(k-n)w_0t]$ 和 $\sin[(k-n)w_0t]$ 都是周期函数，周期为 $T/|k-n|$
  2. $T$ 为基波周期的整数倍
  3. 积分等于 $0$
• $k=n$
  1. 等式左边被积函数是 $1$，所以积分结果是 $T$

所以

$$\int_0^Te^{j(k-n)\omega_0t}dt=\left\{\begin{matrix} T&k=n \\ 0&k\neq n \end{matrix}\right.$$

等式右边可以化简成

$$Ta_n$$

所以

$$a_n=\frac{1}{T}\int_0^Tx(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$

示例--周期性方波

# 傅里叶级数的收敛

周期信号能否用傅里叶级数表示的两个因素

1. 计算系数的积分是否收敛
2. 即使系数都存在，带入到综合公式里是否收敛于原信号

# 信号能量判断

有限项级数

$$x_N(t)=\sum_{k=-N}^{N}a_ke^{jk\omega_0t}$$

令 $e_N(t)$ 为近似误差

$$e_N(t)=x(t)-x_N(t)=x(t)-\sum_{k=-N}^{+N}a_ke^{jk\omega_0t}$$

查看近似程度的标准是在一个周期内误差的能量：

$$E_N=\int_T|e_N(t)|^2dt$$

为了使误差能量最小，应取

$$a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$$

1. 连续周期信号都能用傅里叶级数表示

2. 如果周期信号在一个周期内能量有限就保证收敛

   $$\frac{1}{T}\int_T|x(t)|^2dt<\infty,a_k=\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt存在$$

# 狄里赫利条件判断

1. 狄里赫利条件对级数收敛的保证

   • 在信号连续处等于傅里叶级数表示
   • 在不连续点，傅里叶级数收敛于不连续两边的平均值

2. 狄里赫利条件

   • 在任何周期内 $x(t)$ 必须绝对可积

     $$\int_T|x(t)|dt<\infty$$

     （这一条保证每个傅里叶级数的系数收敛）

     $$|a_k|\leq \frac{1}{T}\int_T|x(t)e^{-jk\omega_0t}|dt=\frac{1}{T}\int_T|x(t)|dt<\infty$$

   • 在任意有限的区间，函数有有限的起伏变化，即只有有限个最大最小值

# 吉伯斯现象

在不连续点，傅里叶级数的收敛趋势

• 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随 $N$ 增加而降低
• 峰值为不连续点插值的 $9\%$

吉伯斯现象的实际意义：

• 不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏
• 选择足够大的 N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略

# 连续时间傅里叶级数性质

若 $x(t)$ 的傅里叶级数系数记为 $a_k$，则用

$$x(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}S} a_k$$

来表示一个周期信号及其傅里叶级数系数的一对关系

用性质求傅里叶系数

# 离散时间周期信号傅里叶级数表示

# 成谐波关系的复指数信号的线性组合

与周期为 $N$ 的 $x[n]=e^{j\omega_0 n}$ 成谐波关系的复指数信号集是

$$\phi_k[n]=e^{jk\omega_0 n}=e^{jk(2\pi/N)n},k=0,\pm1,\pm2……$$

上式给出的信号集中只有 $N$ 个信号是不相同的，这是由于在频率上差 $2\pi$ 的整数倍的离散时间复指数信号都是一样的，即

$$\phi_k[n]=\phi_{k+rN}[n]$$

一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号

$$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk(2\pi/N)n}--🤣$$

如果一个周期信号表示成🤣的形式，就称为离散时间傅里叶级数

# 周期信号傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对

$$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$$

$$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\omega_0n}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$$

其中

$$\sum_{n=<N>}e^{-jk(2\pi/N)n}=\left\{\begin{matrix} N &k=0,\pm N,\pm 2N ...\\ 0&其他 \end{matrix}\right.$$

因为

$$\phi_k[n]=\phi_{k+rN}[n]$$

所以

$$a_k=a_{k+N}$$

习题

其中

$$\arg a_k=\frac{Im(a_k)}{Re(a_k)}$$

对于离散方波的部分和序列，对信号

若 $N$ 为奇数，$M=(N-1)/2$，那么

$$\hat x[n]=\sum_{k=-M}^{M}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$$

就涵盖了 $N$ 项，$\hat x[n]=x[n]$

若 $N$ 为偶数，$M=N/2$，那么

$$\hat x[n]=\sum_{k=-M+1}^{M}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$$

由 $N$ 项组成，$\hat x[n]=x[n]$

# 离散时间傅里叶级数性质

习题

习题 1

习题 2

根据条件 $2$

$$a_0=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^5x[n]=\frac{1}{3}$$

根据条件 $3$

因为

$$(-1)^n=(e^{-j\pi})^n=e^{-j\pi n}=e^{-j(2\pi/6)3n}$$

所以

$$a_3=\frac{1}{6}$$

根据帕塞瓦定理，$x[n]$ 的平均功率为

$$P=\sum_{k=0}^5|a_k|^2$$

因为每一个非零的系数都在 $P$ 中提供一个正的量，所以使 $P$ 最小，需要

$$a_1=a_2=a_4=a_5=0$$

从而得到

$$x[n]=a_0+a_3e^{j\pi n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(-1)^n$$

习题 3

# 傅里叶级数与线性时不变系统

# $LTI$ 系统对复指数信号的响应形式

连续情况

输入为

$$x(t)=e^{st}$$

输出为

$$y(t)=H(s)e^{st}$$

其中

$$H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-st}dt$$

$h(t)$ 是系统的单位冲激响应

离散情况

输入为

$$x[n]=z^n$$

输出为

$$y[n]=H(z)z^n$$

其中

$$H(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]z^{-n}$$

$h[n]$ 是系统的单位脉冲响应

# 系统函数与频率响应

系统函数

当 $s$ 或 $z$ 是一般复数时，$H(s)$ 和 $H(z)$ 称为该系统的系统函数

频率响应

• 对连续系统：：考虑 $s$ 为纯虚数的情况，e^{st}=e^

  $$H(s)=H(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-jwt}dt$$

  $H(jw)$ 称为系统的频率响应

• 对离散系统：考虑 $\boldsymbol{|z|=1}$ 的情况：z^n=e^

  $$H(z)=H(e^{jw})=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h[n]e^{-jwn}$$

  $H(e^{jw})$ 称为系统的频率响应

# 周期信号的频率响应

连续信号

如果系统的单位冲激响应为 $h(t)$，周期信号为 x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^

系统对 $x(t)$ 的响应为

$$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kH(jkw_0)e^{jkw_0t}$$

离散信号

如果系统的单位脉冲响应为 $h[n]$，周期信号为 x[n]=\sum\limits_{k=}a_ke^

系统对 $x(t)$ 的响应为

$$y[n]=\sum_{k=<N>}a_kH(e^{jk(2\pi/N)})e^{jk(2\pi/N)n}$$

习题

# 滤波

改变信号中各频率分量相对大小的过程称为滤波

# 频率成形滤波器

频率成形滤波器：用于改变频谱形状的 $LTI$ 系统

# 频率选择性滤波器

频率选择性滤波器：衰减或消除部分频率信号，无失真通过其他频率信号

# 用微分方程描述的连续时间滤波器举例

# 简单 $RC$ 低通滤波器

以电容器上的电压 $v_c(t)$ 作为输出

$$RC\frac{dv_c(t)}{dt}+v_c(t)=v_s(t)--😁$$

根据定义，当输入电压 $v_s(t)=e^{jwt}$，输出电压是 v_c(t)=H(jw)e^

带入😁得

$$RC\frac{d}{dt}[H(jw)e^{jwt}+H(jw)e^{jwt}]=e^{jwt}$$

化简得

$$H(jw)=\frac{1}{1+RCjw}$$

根据😁

系统的单位冲激响应是（输入为 $\delta(t)$ ）

$$h(t)=\frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t)$$

系统的单位阶跃响应是（输入为 $u(t)$，结果等于对 $h(t)$ 的积分）

$$s(t)=[1-e^{-t/RC}]u(t)$$

根据图中的点可知：$\tau=RC$

在 $(a)$ 中，$RC$ 越大，那些不需要的频率才有足够大的衰减

在 $(b)$ 中，$RC$ 一旦变大，阶跃响应就得用较长得时间才能达到它得长期稳态值

# 简单 $RC$ 高通滤波器

将 $RC$ 电路中电阻两端的电压选为输出

$$RC\frac{dv_r(t)}{dt}+v_r(t)=RC\frac{dv_s(t)}{dt}$$

与上述分析相同，可得到系统的频率响应 $G(jw)$

$$G(jw)=\frac{jwRC}{1+jwRC}$$

# 用差分方程描述离散时间滤波器举例

# 一阶递归离散时间滤波器

$$y[n]-ay[n-1]=x[n]--😊$$

若 $x[n]=e^{jwn}$，则 y[n]=H(e^{jw})e^

带入化简可得

$$H(e^{jw})=\frac{1}{1-ae^{-jw}}$$

• 对于正的 $a<1$ 值，😊表示一个低通滤波器
• 对于负的 $a>-1$ 值，😊表示一个高通滤波器

$|a|$ 控制了该滤波器通带的宽度，随着 $|a|$ 的减小，带宽俞宽

# 非递归离散时间滤波器

$$y[n]=\sum_{k=-N}^M b_kx[n-k]$$

即输出 $y[n]$ 是 $x[n-M]$ 到 $x[n+N]$ 的 $(N+M+1)$ 个值的加权平均