# 非周期信号的表示

# 离散时间傅里叶变换的导出

对于序列 $x[n]$

• $-N_1\leq n\leq N_2$ 范围外，$x[n]=0$

序列 $\tilde x[n]$ 是由 $x[n]$ 构成的周期序列

考虑 $\tilde x[n]$ 的傅里叶级数：

$$\tilde x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$$

$$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}\tilde x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$$

定义

$$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}$$

那么

$$a_k=\frac{1}{N}X(e^{jkw_0})$$

将 $a_k$ 的表达式带入 $\tilde x[n]$ 式子中，并将 $1/N$ 换成 $w_0/2\pi$ 可以得到

$$\tilde x[n]=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=<N>}X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0$$

当 $N\to \infty,w_0\to 0$，所以可以化成微分的形式，最终得到离散时间傅里叶变换公式

# 离散时间傅里叶变换举例

# 指数序列

$$x[n]=a^nu[n],|a|<1$$

# 偶对称指数序列

$$x[n]=a^{|n|},|a|<1$$

# 矩形脉冲序列

$$x[n]=\left\{\begin{matrix} 1 & |n|\leq N_1\\ 0 & |n|>N_1 \end{matrix}\right.$$

# 关于离散时间傅里叶变换的收敛问题

对于正变换：

能量有限

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2<\infty$$

绝对可和

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|<\infty$$

那么 $X(e^{jw})$ 收敛

对于反变换：是一个有限区间的积分，一般都收敛

$W$ 增加，震荡频率增加；$W$ 增加，振幅减小

# 周期信号的傅里叶变换

信号

$$x[n]=e^{jw_0n}$$

傅里叶变换是冲激串

$$X(e^{jw})=\sum_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(w-w_0-2\pi l)$$

考虑周期信号

$$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$$

傅里叶变化是

$$X(e^{jw})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(w-\frac{2\pi k}{N})$$

# 举例

# 离散时间傅里叶变换性质

# 周期性

$$X(e^{j(w+2\pi)})=X(e^{jw})$$

# 线性性质

$$ax_1[n]+bx_2[n]\xleftrightarrow{F}aX_1(e^{jw})+bX_2(e^{jw})$$

# 时移与频移

$$x[n-n_0]\xleftrightarrow{F}e^{-jwn_0}X(e^{jw})$$

$$e^{jw_0n}x[n]\xleftrightarrow{F}X(e^{j(w-w_0)})$$

# 共轭与共轭对称性质

$$x[n]\xleftrightarrow{F} X(e^{jw})$$

$$x^*[n]\xleftrightarrow{F}X^*(e^{-jw})$$

若 $x[n]$ 是实值序列，那么变换是共轭对称的

$$X(e^{jw})=X^*(e^{-jw})$$

• $Re(X(e^{jw}))$ 是 $w$ 的偶函数；$Im(X(e^{jw}))$ 是 $w$ 的奇函数

• $X(e^{jw})$ 的模是 $w$ 的偶函数；相角是 $w$ 的奇函数

• $$Ev(x[n])\xleftrightarrow{F}Re(X(e^{jw}))\\ Od(x[n])\xleftrightarrow{F}jIm(X(e^{jw}))$$

• $x[n]$ 是实偶函数，其傅里叶变换也是实偶函数。eg:x[n]=a^

# 差分与累加性质

$$x[n]-x[n-1]\xleftrightarrow{F}(1-e^{-jw})X(e^{jw})$$

考虑信号

$$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]$$

因为

$$y[n]-y[n-1]=x[n]$$

所以

$$\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]\xleftrightarrow{F}\frac{1}{1-e^{-jw}}X(e^{jw})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^\infty\delta[w-2k\pi]$$

# 时间反转性质

$$x[-n]\xleftrightarrow{F}X(e^{-jw})$$

# 时域扩展

定义

$$x_{(k)}[n]=\left\{\begin{matrix} x[n/k] & \text{n 为 k 的整数倍}\\ 0 &\text{n 不为 k 的整数倍} \end{matrix}\right.$$

则

$$x_{(k)}[n]\xleftrightarrow{F}X(e^{jkw})$$

上图是在 $k=3$ 的情况下，此时 $x_{(3)}[n]$ 是在 $x[n]$ 的连续值之间插入 $(k-1)$ 个零值而得到

举例

# 频域微分性质

$$nx[n]\xleftrightarrow{F}j\frac{dX(e^{jw})}{dw}$$

# 帕萨瓦尔定理

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{jw})|^2dw$$

举例

考虑序列 $x[n]$，其傅里叶变换 $X(e^{jw})$ 在 $-\pi\leq x\leq \pi$ 区间上如图所示，问 $x[n]$ 是否是周期的、实信号、偶函数、有限能量的

1. 时域上的周期性意味着傅里叶变换除了在各个基波频率的整数倍频率上有可能出现冲激，其余地方为零。显然不符合。
2. 根据傅里叶变换的对称性知道，一个实值序列一定有一个傅里叶变换，其模是 $w$ 的偶函数，相位是 $w$ 的奇函数。根据图像可知，该信号是实信号。
3. 若 $x[n]$ 是偶函数，$X(jw)$ 必须是实偶函数，但是 $X(jw)=|X(jw)|e^{-j2\pi}$ 不是一个实函数，所以 $x[n]$ 不是偶信号
4. 利用帕萨瓦尔定理，因为在$-\pi$ 到 $\pi$ 上 $|X(e^{jw})|^2$ 是一个有限量，所以 $x[n]$ 能量是有限的

# 卷积性质

若 $x[n],h[n],y[n]$ 分别为某一线性时不变系统的输入、单位脉冲响应和输出

$$y[n]=x[n]*h[n]$$

那么

$$Y(e^{jw})=X(e^{jw})H(e^{jw})$$

注意：一个离散时间线性时不变系统的频率响应就是该系统单位脉冲响应的傅里叶变换

习题

# 相乘性质

$y[n]$ 等于 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的乘积，它们的傅里叶变换分别为 $Y(e^{jw}),X_1(e^{jw}),X_2(e^{jw})$

$$Y(e^{jw})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(w-\theta)})d\theta$$

# 对偶性质

因为周期信号 $x[n]$ 的傅里叶级数系数 $a_k$ 本身就是一个周期序列，所以可以将这个序列 $a_k$ 展开成傅里叶级数

考虑周期为 $N$ 的周期序列

$$f[m]=\frac{1}{N}\sum_{r=<N>} g[r]e^{-jr(2\pi/N)m}$$

如果令 $m=k,r=n$

$$f[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}g[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$$

显然

$$g[n]\xleftrightarrow{FS} f[k]$$

如果令 $m=n,r=-k$

$$f[n]=\sum_{k=<N>}\frac{1}{N}g[-k]e^{jk(2\pi/N)n}$$

显然

$$f[n]\xleftrightarrow{FS}\frac{1}{N}g[-k]$$

举例

# 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性质

# 由线性常系数差分方程表征的系统

对于一个线性时不变系统，其输出 $y[n]$ 和 输入 $x[n]$ 之间的线性常系数差分方程一般具有如下形式：

$$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$$

等式两边应用傅里叶变换

$$\sum_{k=0}^Na_ke^{-jkw}Y(e^{jw})=\sum_{k=0}^{M}b_ke^{-jkw}X(e^{jw})$$

所以可以求出系统的频率响应

$$H(e^{jw})=\frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_ke^{-jkw}}{\sum_{k=0}^Na_ke^{-jkw}}$$