# 傅里叶变换的模和相位表示

连续时间傅里叶变换

X(jw)=|X(jw)|e^{j\ang X(jw)}

离散时间傅里叶变换

X(e^{jw})=|X(e^{jw})|e^{j\ang X(e^{jw})}

模 $|X(e^{jw})|$ 描述信号的频率含量，各个谐波复指数信号相对振幅

相位 $\theta=\arg (X(e^{jw}))$ 表示各个复指数信号的相对相位

# LTI 系统频率响应的模和相位表示

在连续时间情况下，LTI 输入和输出的傅里叶变换的关系

$$Y(jw)=H(jw)X(jw)$$

$|H(jw)|$ 称为系统的增益

$$|Y(jw)|=|H(jw)||X(jw)|$$

\ang H(jw) 称为系统的相移

\ang Y(jw)=\ang H(jw)+\ang X(jw)

如果系统对输入的改变是以一种有意义的方式进行的，那么这种在模和相位上的变化可能都是我们所希望的；否则上述两个式子的影响叫作失真

# 线性与非线性位移

线性

当相移是频率 $w$ 的线性函数时，相移在时域中相当于延时

$$H(jw)=e^{-jwt_0}$$

则

$$Y(jw)=e^{-jwt_0}X(jw)$$

有

$$y(t)=x(t-t_0)$$

具有线性相移特性的系统，其相移特性的斜率就是时移的大小

离散时间系统线性相位的斜率为整数，也对应时域的时移

非线性

如果输入信号受到的是一个 $w$ 的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而它们的相对相位上发生变化。当这些复指数再次叠加在一起时，就会得到一个看起来与输入信号有很大不同的信号。

以连续系统为例：

$(a)$ 是输入信号；$(b)$ 是线性相移的系统响应；$(c)$ 是非线性相移的系统响应；$(d)$ 是另一个非线性相移的系统响应

所有系统的增益都为 $1$，称为全通系统

# 群延迟

在连续时间情况下：

若 \ang H(jw)=-wt_0，那么系统给出的时移就是 $-t_0$，或者说等效地延迟 $t_0$

在离散时间情况下：

若 \ang H(e^{jw})=-wn_0，那么系统给出的时移就是 $-n_0$，对应于一个 $n_0$ 的时延

扩展到非线性的情况：

设 想要检查一个连续时间线性时不变系统的相位对于一个窄带输入信号所产生的效果

该窄带输入 $x(t)$ 的傅里叶变换在以 $w=w_0$ 为中心的一个很小的频率范围意外都是零或非常小

在这一很小的频带范围内用线性关系近似：

\ang H(jw)\approx-\phi-w\alpha

所以

$$Y(jw)\approx X(jw)|H(jw)|e^{-j\phi}e^{-jw\alpha}$$

时间延迟 $\alpha$ 称为在 $w=w_0$ 的群延迟，代表了以 $w=w_0$ 为中心的一个很小的频带或很小的一组频率上所受到的有效公共延迟

每个频率上的群延迟就等于在那个频率上相位特性斜率的负值

\tau(w)=-\frac{d}{dw}(\ang H(jw))

# 理想频率选择性滤波器的时域特性

# 一阶连续时间系统

$\tau$ 越小，冲激响应衰减的越快，阶跃响应上升时间越短；即，阶跃响应朝向最终值上升得更陡峭了

一阶系统的阶跃响应不会出现任何震荡

# 一阶离散时间系统

不同参数的冲激响应：

不同参数的阶跃响应：