# 用信号样本表示连续时间信号

一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号恢复出来。

# 冲激串采样

用一个周期冲激串去乘待采样的连续时间信号 $x(t)$ 该方法称为冲激串采样

周期冲激串 $p(t)$ 称为采样函数

周期 $T$ 称为采样周期

$p(t)$ 的基波频率 $w_s=\frac{2\pi}T$ 称为采样频率

$x(t)$ 被一个单位冲激函数相乘以后就将冲激发生的这一点的信号值采出来

$$x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)$$

$x_p(t)$ 本身就是一个冲激串，其冲击幅度等于 $x(t)$ 在以 $T$ 为间隔处的样本值

$$x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)$$

所以

$$X_p(jw)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)P(j(w-\theta))d\theta$$

根据冲激串地傅里叶变换

$$P(jw)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w-kw_s)$$

所以

$$X_p(jw)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(j(w-kw_s))$$

# 采样定理

采样定理：设 $x(t)$ 是一个带限信号（即它的傅里叶变换在某一有限频带范围以外均为零），在 $|w|>w_M$ 时，$X(jw)=0$。如果 $w_s>2w_M$，其中 $w_s=2\pi/T$，那么 $x(t)$ 就能唯一地由其样本 $x(nT),n=0,\pm 1,\pm 2,...$ 所确定。

奈奎斯特速率：频率 $2w_M$

理想低通滤波器的冲激响应为

$$h(t)=T\frac{\sin(w_ct)}{\pi T}$$

恢复信号

$$x_r(t)=h(t)*x_p(t)$$

# 零阶保持采样

在一个给定的瞬间对 $x(t)$ 采样并保持这一样本值，知道下一个样本被采到为止

冲激脉冲不便实现，实际中一般采用零阶保持采样来实现采样过程

零阶保持系统在采样周期内保持输入信号幅度

冲激响应为

$$h_0(t)=\left\{\begin{matrix} 1 &t<T \\ 0 &t>T \end{matrix}\right.$$

采样输出为 $x_0(t)$

频率响应为

$$H_0(jw)=e^{-jwT/2}\frac{2\sin(wT/2)}{w}$$

根据之前利用理想低通滤波器从信号的样本中完全恢复一个连续时间信号的频率响应 $H(jw)$，这个零保持系统回复信号的频率响应应该是

$$H_r(jw)=\frac{1}{H_0(jw)}H(jw)$$

# 利用内插由样本重建信号

内插：是由样本值来重建某一函数的常用过程

# 零阶保持插值

一种近似的插值方法

# 一阶插值（线性内插）

因为零阶插值结果不连续，数据出现明显的锯齿状

一阶插值结果连续但是不光滑，能改变结果数据的锯齿效应

传输函数

$$H(jw)=\frac{1}{T}[\frac{\sin(wT/2)}{w/2}]^2$$

# 欠采样效果

# 混叠现象分析

采样频率低于奈奎斯特频率，信号出现混叠

对于信号

$$x(t)=\cos(w_0t)$$

分析如图

发生混叠时的输出波形

• 在 $w_0<\frac{w_s}{2}$ 时，没有混叠

• 在 $\frac{w_s}{2}<w_0<w_s$ 时，混叠出一个较低频率 $w_s-w_0$

• 在 $w_0=w_s$ 时，采样结果为一个直流信号

当信号有初始相位时

$$x(t)=\cos(w_0t+\phi)=\frac{1}{2}(e^{j(w_0t+\phi)}+e^{-j(w_0t+\phi)})=\frac{1}{2}(e^{j\phi}e^{jw_0t}+e^{-j\phi}e^{-jw_0t})$$

发生混叠时候的采样结果，观察 $(d)$ 和 $(e)$ 可以看出，实线和虚线颠倒了位置

$$x_r(t)=\frac{1}{2}(e^{-j\phi}e^{j(w_s-w_0)t}+e^{j\phi}e^{-j(w_s-w_0)t})=\cos[(w_s-w_0)t{\color{red}-}\phi]$$

此时相位中的符号有变化，即相位颠倒