# 拉普拉斯变换

在一个冲激响应为 $h(t)$ 的线性时不变系统，对 $e^{st}$ 复指数输入信号的响应 $y(t)$ 是

$$y(t)=H(s)e^{st}$$

其中

H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-st}dt--❤️

• 如果 $s$ 为纯虚数，即 $s=jw$，那么式 ❤️ 对应的就是傅里叶变换
• 如果 $s$ 为一般的复变量，那么式 ❤️ 就称为单位冲激响应 $h(t)$ 的拉普拉斯变换

一个信号 $x(t)$ 的拉普拉斯变换定义为

$$X(s) \triangleq\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$$

注意这是一个自变量为 $s$ 的函数，复变量 $s$ 可以写成 $s=\sigma+jw$

为了方便将拉普拉斯变换表示成为算子 $\mathcal{L}(x(t))$

$x(t)$ 和 $X(s)$ 之间的关系记为

$$x(t)\xleftrightarrow{\mathcal L} X(s)$$

# 拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系

$$X(s)|_{x=jw}=\mathcal{F}(x(t))$$

如果直接将 $s$ 表示成 $s=\sigma+jw$ 的形式

$$X(\sigma+jw)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-(\sigma+jw)t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-\sigma t}e^{-jwt}dt$$

即可以看作是 $x(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换

# 举例

# 零极点图

# 举例

• 一般用零点或极点标志的重复次数来指出它们的阶数
• 如果拉普拉斯变换的收敛域不包括 $jw$ 轴，那么傅里叶变换就不收敛

# 拉普拉斯变换收敛域

# 拉普拉斯逆变换

根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系：

$$x(t)e^{-\sigma t}=\mathcal F(X(\sigma+jw))=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+jw)e^{jwt}dw$$

所以

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+jw)e^{(\sigma+jw)t}dw$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-jw}^{\sigma+jw}X(s)e^{st}ds$$

# 由零 - 极点图对傅里叶变换进行几何求值

# 一阶系统

对于一般的一阶系统，单位冲激响应是

$$h(t)=\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau}u (t)$$

它的拉普拉斯变换是

$$H(s)=\frac{1}{s\tau+1}.\Re(s)>-\frac{1}{\tau}$$

极点向量的长度在 $w=0$ 最短，并随 $w$ 增加而单调增加；同时，极点向量的相角随 $w$ 从 $0$ 增加到 $\infty$ 而单调地从 $0$ 增加到 \frac{\pi}

在 $w=\frac{1}{\tau}$ 时，频率响应的模从它在 $w=0$ 时的最大值下降了 $\frac{1}{\sqrt 2}$，或近似下降了 $3dB$；此时频率响应的相位是 $\frac{\pi}{4}$ 值；是一个转折点

# 全通系统

零极点对称虚轴

频率响应的模与频率无关，是一个常数

H(jw)=\frac{jw-a}{jw+a}\\ |H(jw)|=1\\ \ang H(jw)=\theta-\phi=\pi-2\phi=\pi-2\arctan (w/a)

# 拉普拉斯变换的性质

# 线性性质

若

$$x_1(t)\xleftrightarrow{\mathcal L}X_1(s),ROC\text{ 为 }R_1\\ x_2(t)\xleftrightarrow{\mathcal L}X_2(s),ROC\text{ 为 }R_2$$

则有

$$ax_1(t)+bx_2(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}} aX_1(x)+bX_2(s),ROC\text{ 为 }R_1\cap R_2$$

• 这个收敛域也可能比 $R_1\cap R_2$ 大
• 这个交集可以是空，此时 $X(s)$ 不存在

# 时移性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}X(s),ROC=R$$

则有

$$x(t-t_0)\xleftrightarrow{\mathcal L}e^{-st_0}X(s),ROC=R$$

# s 域平移性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}}X(s),ROC=R$$

则

$$e^{st_0}x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{L}} X(s-s_0),ROC-R+\Re(s_0)$$

$X(s-s_0)$ 的收敛域是 $X(s)$ 的收敛域平移一个 $\Re(s_0)$

• 如果 $X(s)$ 有一个极点或者零点在 $s=a$，$X(s-s_0)$ 就有一个极点或零点在 $s-s_0=a$，也就是 $s=s_0+a$

• 当 $s_0=jw_0$ 时，即当一个信号 $x(t)$ 用来调制一个周期复指数信号 $e^{jw_0t}$ 时

  $$e^{jw_0t}x(t)\xleftrightarrow{L}X(s-jw_0),ROC=R$$

  即零点和极点平移，但是收敛域不变（因为是沿着 $jw$ 轴的平移）

# 时域尺度变换性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{L}X(s),ROC=R$$

则有

$$x(at)\xleftrightarrow{L}\frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a}),ROC\, R_1=|a|R$$

$x(t)$ 时间翻转会带来收敛域的翻转

$$x(-t)\xleftrightarrow{L}X(-s),ROC=-R$$

# 共轭性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{L}X(s),ROC=R$$

则有

$$x^*(t)\xleftrightarrow{L}X^*(s^*),ROC=R$$

因此

$$X(s)=X^*(s^*),x(t)为实数$$

实函数 $x(t)$ 的 $X(s)$，其零极点都是成对共轭出现的

# 卷积性质

若

$$x_1(t)\xleftrightarrow{L}X_1(s),ROC=R_1$$

且

$$x_2(t)\xleftrightarrow{L}X_2(s),ROC=R_2$$

则有

$$x_1(t)*x_2(t)\xleftrightarrow{L}X_1(s)X_2(s),ROC\text{ 包括 }R_1\cap R_2$$

如果在乘积中有零极点相消，那收敛域也可能比它们相交部分大

# 时域微分性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{L}X(s),ROC=R$$

则

$$\frac{dx(t)}{dt}\xleftrightarrow{L} sX(s),ROC \text{ 包括 } R$$

# s 域微分性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{L}X(s),ROC=R$$

则

$$-tx(t)\xleftrightarrow{L}\frac{dX(s)}{ds},ROC=R$$

# 时域积分性质

若

$$x(t)\xleftrightarrow{L}X(s),ROC=R$$

则有

$$\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\xleftrightarrow{L}\frac{1}{s}X(s),ROC\text{ 包括 } R\cap \left\{Re\left\{s\right\}>0\right\}$$

# 初值定理与最终定理

初值定理：

$$x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s)$$

终值定理：

$$\lim_{t\to \infty}x(t)=\lim_{s\to 0}sX(s)$$

使用条件

1. $$t<0,x(t)=0$$

2. $t=0$，$x(t)$ 不包含冲激或高阶奇异函数

# 用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统

$e^{st}$ 是 $LTI$ 系统的特征函数， $H(s)$ 称为系统的特征值函数

$H(jw)$ 为系统的频率响应，$H(s)$ 称为系统的转移函数或系统函数

$H(s)$ 不仅与系统的频率响应有关，还与系统的因果性、稳定性有关

# 因果性

因果 $TLI$ ，其单位冲激响应在 $t<0$ 时为零，因此是一个右边信号

一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面

位于最右边极点的右边的收敛域并不保证系统是因果的，只保证单位冲激响应是右边的。

但是如果 $H(s)$ 是有理的，只需看它的收敛域是否为右平面，就能确定该系统是否是因果的

对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面

# 反因果性

反因果 $TLI$ ，其单位冲激响应在 $t>0$ 时为零，因此是一个左边信号

一个反因果系统的系统函数的收敛域是某个左半平面

位于最左边极点的左边的收敛域并不保证系统是因果的，只保证单位冲激响应是左边的。

但是如果 $H(s)$ 是有理的，只需看它的收敛域是否为左平面，就能确定该系统是否是反因果的

对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的反因果性就等效于收敛域位于最左边极点的左边的左半平面

# 稳定性

一个线性时不变系统的稳定性等效于它的单位冲激响应是绝对可积的，这时的单位冲激响应的傅里叶变换收敛

• 傅里叶变换就等于拉普拉斯变换沿 $jw$ 轴求值

当且仅当系统函数 $H(s)$ 的收敛域包括 $jw$ 轴，即 $\Re\left\{s\right\}=0$ 时，一个线性时不变系统就是稳定的

当且仅当 $H(s)$ 的全部极点都在 $s$ 平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数 $H(s)$ 的因果系统才是稳定的

# 由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

考虑线性常系数微分方程

$$\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

两边取拉普拉斯变换

$$(\sum_{k=0}^N a_ks^k)Y(s)=(\sum_{k=0}^M b_ks^k)X(s)$$

或者

$$H(s)=\frac{\sum\limits_{k=0}^M b_ks^k}{\sum\limits_{k=0}^N a_ks^k}$$

对于 $H(s)$ 收敛域的说明需要等到确定系统的性质才能确定

# 系统特性与系统函数的关系举例

# 巴特沃斯滤波器

一个 $N$ 阶低通巴特沃斯滤波器频率响应的模平方是

$$|B(jw)|^2=\frac{1}{1+(jw/jw_c)^{2N}}$$

其中 $N$ 是滤波器的阶

$$|B(jw)|^2=B(jw)B^*(jw)$$

如果将该巴特沃斯的单位冲激响应限制为实函数，则由傅里叶变换的共轭对称性

$$B^*(jw)=B(-jw)$$

所以

$$B(jw)B(-jw)=\frac{1}{1+(jw/jw_c)^{2N}}$$

这个分母多项式就是 $B(s)B(-s)$ 的极点

$$s=(-1)^{1/2N}(jw_c)w_cej[(w_ce^{j[(2k+1)\pi/2N+\pi/2]}$$

极点的模：

$$|s_p|=w_c$$

极点的相角：

\ang {s_p}=\frac{(2k+1)\pi}{2N}+\frac{\pi}{2}

1. 在 $s$ 平面，半径为 $w_c$ 的圆上，有 $2N$ 个极点在角度上呈等分割配置
1. 极点永远不会位于 $jw$ 轴上，而且当 $N$ 为奇数时，在 $\sigma$ 轴上有极点，当 $N$ 为偶数时则没有
1. 相邻极点之间的角度差是 $pi/N$ 弧度

# 系统函数的代数属性与方框图表示

# 线性时不变系统互联的系统函数

两个系统的并联

$$h(t)=h_1(t)+h_2(t)\\ H(s)=H_1(s)+H_2(s)$$

两个系统的级联

$$h(t)=h_1(t)*h_2(t)\\ H(s)=H_1(s)H_2(s)$$

对于图 $3$

$$Y(s)=H_1(s)E(s)\\ E(s)=X(s)-Z(s)\\ Z(s)=H_2Y(s)$$

所以

$$Y(s)=H_1(s)[X(s)-H_2(s)Y(s)]\\ \frac{Y(s)}{X(s)}=H(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}$$

# 由微分方程和有理系统函数描述的额因果 LTI 的方框图表示

# 直接模拟

# 一阶系统模拟

# 二阶系统模拟

# $n$ 阶系统模拟

# 方程中含有 x 导数的系统模拟

# 并联模拟

# 级联模拟

# 单边拉普拉斯变换

用于分析具有非零初始条件的系统（即系统最初不是松弛的）

一个连续时间信号 $x(t)$ 的单边拉普拉斯变换 $\chi(s)$ 定义为

$$\chi(s)\stackrel{\Delta}{=} \int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$$

这里的积分下限取为 $0^-$ 表示在积分区间内包括集中于 $t=0$ 的任何冲激或高阶奇异函数

$$x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{UL}}\chi (s)=\mathcal{UL}\left\{x(t)\right\}$$

• 在 $t<0$ 不同，在 $t\geq 0$ 相同的两个信号，它们的双边拉普拉斯变换不同，但单边拉普拉斯变换相同

• 因果信号的单边、双边拉普拉斯变换相同

  • 应用中大量为有始（右边）信号，起点设为 0，就是因果信号

# 单边拉普拉斯变换举例

# 单边拉普拉斯变换性质

• 卷积性质：需要两个信号都是因果的，时域卷积才等于 $s$ 域乘积
• 时域微分：单边变换需要减去信号的初值，双边变换不需要

# 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程

零状态响应：最后一项代表了因果线性时不变系统再初始松弛条件下的响应；初始条件是 $\beta=r=0$

零输入响应：输入为零 $\alpha=0$ 时，该系统的单边拉普拉斯变换；零输入相应时初始条件的线性函数