# Z 变换

一个离散时间信号 $x[n]$ 的 $z$ 变化定义为

$X(z)\stackrel{\Delta}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

其中 $z$ 是一个复变量

$x[n]\xleftrightarrow Z X(z)$

# $Z$ 变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

采用极坐标表示

$z=re^{jw}$

用 $r$ 表示 $z$ 的模，而用 $w$ 表示它的相角

$X(re^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](re^{jw})^{-n}$

或

$X(re^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]r^{-n})e^{-jwn}$

所以 $X(re^{jw})$ 就是序列 $x[n]$ 乘以实指数 $r^{-n}$ 后的傅里叶变换，即

$X(re^{jw})=\mathcal{F} \left\{x[n]r^{-n}\right\}$

在 $z$ 变换中当变换变量 $z$ 的模为 $1$ ，即 $z=e^{jw}$ 时， $z$ 变换就演变为傅里叶变换

所以，傅里叶变换就变成在复数 $z$ 平面中，半径为 $1$ 的圆上的 $z$ 变化
这个圆称为单位圆

如果序列是指数的，所得到变换就是有理的
只要 $x[n]$ 是实指数或复指数的线性组合， $X(z)$ 就一定是有理的
$X(z)$ 都可以表示成 $z$ 的多项式之比
$X(z)$ $X (z)$ 的零极点为分子、分母多项式的根
- 分子阶数高于分母，在无穷远点有极点
- 分母阶数高于分子，在无限远点有零点

# Z 变换的收敛域

# 收敛区性质举例

有限长因果序列

偶对称双边序列

# Z 逆变换

因为

$x(re^{jw})=\mathcal F \left\{x[n]r^{-n}\right\}$

所以

$x[n]=r^{n}\mathcal F \left\{ X(re^{jw})\right\}$

即

$x[n]=r^n\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(re^{jw})e^{jwn}dw$

或

$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(re^{jw})(re^{jw})^ndw$

解释：将 $z$ 变换沿着收敛域内 $z=re^{jw}$ ， $r$ 固定而 $w$ 在一个 $2\pi$ 区间内变化的闭合围线求值，就能恢复 $x[n]$

因为 $dz=jre^{jw}dw=jzdw$

所以上式表示成

$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz$

其中 $\oint$ 表示在半径为 $r$ ，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分

对于 X (z) 为 z 的有理式，可采用部分分式方法，将其分解为基本形式后求取
Z 变换的定义式是一个 z 的幂级数求和结果，按照 z 的幂级数展开，也能求得反变换结果

# 幂级数展开法（展开法）

先将 X (z) 的分子和分母按 z 的降幂排列，然后进行长除，由其结果即得以序列形式表示的 x (n)

给定 Z 变换：

$X(z) = \frac{z}{(z-1)^2}, \quad \text{ROC}: |z| > 1$

已知 $x[n]$ 是因果序列（即 $x[n]=0$ 对所有 $n<0$ ），要求：

将其展开为 $z^{-1}$ 的幂级数形式
求出对应的时域序列 $x[n]$

首先将 $X(z)$ 表示为 $z^{-1}$ 的函数：

$X(z) = \frac{z}{(z-1)^2} = \frac{z}{z^2-2z+1}$

分子分母同除以 $z^2$ ：

$X(z) = \frac{z^{-1}}{1-2z^{-1}+z^{-2}} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$

利用已知的泰勒展开公式：

$\frac{1}{(1-a)^2} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)a^n, \quad |a|<1$

令 $a=z^{-1}$ ，且由 ROC $|z|>1$ 可知 $|z^{-1}|<1$ ，因此：

$\frac{1}{(1-z^{-1})^2} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^{-n}$

于是：

$X(z) = z^{-1}\cdot\frac{1}{(1-z^{-1})^2} = z^{-1}\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^{-(n+1)}$

令 $k=n+1$ ，则：

$X(z) = \sum_{k=1}^\infty kz^{-k} = \sum_{k=0}^\infty kz^{-k}$

（因为 $k=0$ 时项为 0，可以加入求和）

# 部分分式展开法

# 留数法（围线积分）

# 利用零 - 极点图对傅里叶变换进行几何求值

# 一阶系统

# z 变换的性质

即

$z_0^nx[n]\xleftrightarrow{\mathcal Z} X(\frac{z}{z_0}),ROC=|z_0|R$

即

$x[-n]\xleftrightarrow {\mathcal Z} X(\frac{1}{z}),ROC=\frac{1}{R}$

共轭性质
$x^*[n]\xleftrightarrow{\mathcal Z} X^*(z^*),ROC=R$

# 利用 z 变换分析与表征线性时不变系统

# 系统函数的代数属性与方框图表示

# 单边 z 变换

信号与系统，傅里叶变换